अथ संख्यानम्

अथ अर्धसमवृत्तस्य पादव्यक्तिभेदज्ञानार्थ पाटीगणितोक्तं सूत्रम्‍ ।
पादाक्षरमिते ( त) गछे गुणवर्गफलं ,चये व्दिगुणे ।
समवृत्तानां संख्या तव्दर्गोवर्गवर्गश्च ।
स्वस्वपदोनौ स्यातामर्धसमानां च विषमाणाम्‍ ।
एवमर्धसमवृत्तस्य षडक्षरचणस्य व्यक्तिभेदा: ४०३२ ।
एवं विषमवृत्तस्य व्यक्तिभेदा इमे १६७७३१२० ।
आतां अर्धसमवृताच्या चरणांतील तत्तव्दिशिष्टसंख्याक अक्षरांच्या प्रस्तारप्रकाराची संख्या समजण्याकरितां पाटीगणिताविषयीं पुढील सूत्र आहे, असा जोशीबुवांनी ‘ पादाक्षरमिते ’ या आर्येविषयी उपन्यास केला आहे ; परंतु पुढील आर्येच्या अर्थावरुन तींत सम, अर्थसम व विषम या तीन प्रकारच्या वृत्तांतील प्रस्तारसंख्या कळण्याची गणितपध्दति सांगितली आहे असें दिसून येतें. आतां ‘ पदार्णं गुरुषु ’ यापूर्वीच्या श्लोकांत जरी प्रस्तार संख्याच काढण्याची पध्दत सांगितली आहे, तरी फिरुन येथें अन्य पध्दतीनें ती काढण्याचा मार्ग सांगितला आहे असें समजावे. तेव्हवं उपन्यासंतील अर्धसम हें पद सम, विषम वृत्तांचें उपलक्षक आहे असें म्हणावें लागते. ‘ पादाक्षरमितेगच्छे ’ या श्लोकास आरंभ करुन पुढचे सर्व श्लोक बसविण्यास फार क्लिष्ट आहेत.याचीं कारणें दोन आहेत. एक पुस्तक फार अशुध्द आहे, व दुसरें येथील मजकूर कांहीं गहाळ झाला आहे. यामुळें अर्थ - योजना करण्यास विशेष त्रास होतो. प्राचीन पंडितांनीं या विषयाचें जें विवेचन केलें आहे त्यावरुन जोशीबुवांस येथें कोणाता अर्थ सांगणे अभिप्रेत आहे याची कल्पना करुन, त्यास अनुकूल मजकुराचा अध्याहार करुन आम्ही या सूत्राचा अर्थ करीत आहों. येथील कांहीं ग्रंथ लुप्त झालेला आहे हा आमचा अदमास जर खरा असेल, व तो जर उपलब्ध होईल तर त्यांत आम्हीं केलेल्या योजनेपेक्षां निराळीच योजना झाली तरी उत्तर मात्र निराळें येणें शक्य नाही. तेव्हां मूळच्या पध्दतीहून कदाचित्‍ आमची नाही असें समजून ती आम्ही देत आहों.
आतां आपण ‘ पादाक्षरमितेगच्छे ’ या आर्येचा अन्वयार्थ देऊं. पादाक्षरमिते गच्छे गुणवर्गफलं समवृत्तानां संख्या भवति । ( अथवा ) चये व्दिगुणे. ( कृते सति ) समवृत्तानां संख्या भवति । तव्दर्ग: वर्गवर्गश्च स्वस्वपदोनौ अर्धसमानीं विषमाणां च ( वृत्तानां ) संख्ये स्थाताम्‍ । याचा अर्थ: - समवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या त्या वृत्ताच्या चरणांतील अक्षरांच्या संख्येचा जो गच्छ त्यामध्यें येणारें जें वर्गफल ती होय. गछ याचा अर्थ भूमितिश्रेढींतील जीं पदें असतात, त्यांची जी संख्या ती असा आहे. म्हणजे १-२-४-८-१६ ही जी श्रेढी हिचा गच्छ पाच होय. वर्ग फल म्हणजे संख्येचा वर्ग करुन येणारें उत्तर. समसंख्येचा जो गुणाकार त्यास वर्ग म्हणतात. जिचा वर्ग केला आहे. त्या मूळच्या संख्येनें घनाच्या संख्येस गुणिलें म्हणजे चतुर्घात होतो. अशा रीतीनें वाढणार्‍या गुणाकारास पंचघात, षट्‍घात, इत्यादि संज्ञा आहेत. उदाहरणार्थ - दोहोंचा वर्ग चार, घन आठ, चतुर्घात सोळा. अशा रीतीनें पुढील पुढील संख्यांना गुणित गेले असतां ते ते घात होतात. येथें जोशीबुवांनीं या सर्व घातांस सामान्यत: वर्ग शब्दच योजिला आहे. तेव्हां आतां असा अर्थ झाला कीं, वृत्ताक्षरांची जी संख्या असेल ती गच्छ समजावी म्हणजे दोन या संख्येच्या श्रेढींतील पदांची ती संख्या समजावी, व तेथपर्यंत दोहोंचा वर्ग ( घात ) करीत जावें. जें वर्गफळ येईल तें त्या वृत्ताक्षरसंख्येच्या प्रस्ताराची संख्या होय. उदाहरणार्थ, सहा अक्षरी वृत्त घेतलें तर दोहोंच्या भूमितिश्रेढींतील पदांची संख्या ( गच्छ ) सहा ही समजावी. व दोहॊंचा षड्‍घात करावा. त्याचें जें उत्तर ( वर्गफल ) ती संख्या सहा अक्षरी प्रस्ताराच्या प्रकाराची होय. दोहोंचा षड्‍घात २-४-८-१६-३२-६४ याप्रमाणें चौसष्ट येतो. तेव्हां षडक्षरी वृत्ताच्या प्रस्तराची संख्या चौसष्ट ही होय. या पध्दतीत अक्षराचे लघु - गुरु असे दोनच प्रकार असल्या मुळें दोहोंचाच घात करावयाचा हें गृहीत धरावें लागतें. ‘ गुणवर्गफलम्‍ ’ यांतील गुणपदाचा अर्थ नीटसा लागत नाही.
प्रस्ताराच्या प्रकारांची संख्या काढण्याचा दुसरा मार्ग ‘ चये व्दिगुणे ’ यांनी थोडक्यांत सांगितला आहे. तो असा कीं, पूर्वाकप्रस्ताराची जी संख्या ती व्दिगुणित केली असतां त्याच्या पुढच्या अंकाच्या प्रस्ताराची संख्या निघते. म्हणजे एक या संख्येचा प्रस्तार दोन आहे तर दोहोंचा प्रस्तार याच्या दुप्पट म्हणजे चार समजावा. तिहींचा आठ. याप्रमाणें पूर्वाक प्रस्ताराची दुप्पट पुढील अंकाच्या प्रस्ताराची संख्या होय. याप्रमाणें समवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या काढण्याचे दोन मार्ग सांगितले .
आतां अर्धसमवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या काढण्याचा प्रकार सांगतात. तो हा ज्या अर्ध समवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या काढावयाची असेल तें वृत्त सम समजून जी प्रस्तारसंख्या येईल त्या संख्येचा वर्ग करावा; व त्यांत जिचा वर्ग केला असेल ती संख्या वजा करावी. राहिलेली जी संख्या ती त्या अर्धसमवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या होय. उदाहरणार्थ सहा अक्षरी अर्धसमवृत्ताच्या प्रस्तारांची संख्या काय येते. ती पाहूं. सहा अक्षरी समवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या चौसष्टा हें वर दाखविलेंच आहे. तेव्हां आतां चौसष्टाचा वर्ग करुन त्यांत चौसष्ट संख्या वजा केली असतां जी संख्या येईल ती सहा अक्षरी अर्ध समवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या होय. ६४ * ६४ = ४०९६ -६४ = ४०३२ तेव्हां चाळीसशें बत्तीस हें उत्तर.याप्रमाणेंच इतर सर्व अर्धसमवृत्ताच्या प्रस्ताराची संख्या काढावी.
विषम वृत्ताची संख्या काढावयाची असेल तर वरच्या प्रमाणें समवृत्तांतील प्रस्तारसंख्येचा प्रथम वर्ग करावा व फिरुन त्या वर्गाचा वर्ग करावा. याप्रमाणें दोनदां वर्ग करुन जी संख्या येईल तींत दुसरा वर्ग ज्या संख्येचा केला आहे, ती संख्या वजा द्यावी. वजा देऊन जी संख्या उरेल ती त्या विषमवृताच्या प्रस्ताराची संख्या होय. उदाहरणार्थ, सहा अक्षरी समवृत्ताची प्रस्तारसंख्या चौसष्ट आहे. तिचा वर्ग केला असतां ४०९६ ही संख्या येत .हीचा फिरुन वर्ग केला म्हणजे ४०९६ * ४०९६ = १६७७७२१६ - ४०९६ = १६७७३१२०. ही संख्या सहा अक्षरी विषम वृत्ताची होय. याप्रमाणेंच इतर विषमवृत्ताची संख्या काढावी. म्हणजे तें वृत्त सम समजून जी प्रस्तार संख्या येईल तिच्या वर्गाचा वर्ग करुन त्यांत प्रथमवर्गाची संख्या वजा द्यावी. बाकी राहील तें उत्तर होय.